Полиадический код

Материал из Модулярная арифметики
Версия от 04:24, 12 февраля 2015; Isaeva (обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Введение

Полиадический код (или система счисления со смешанным основанием от англ. associated mixed radix system (AMRS))


Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел \{b_k\}_{k=0}^{\infty}, и каждое число X в ней представляется как линейная комбинация: X = \sum_{k=0}^{n-1} a_{k}b_k, где на коэффициенты a_{k}, называемые как и прежде цифрами, накладываются некоторые ограничения. Записью числа x в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса k, начиная с первого ненулевого.


Любое число \{x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n\} в системе остаточных классов может быть представлено в виде полиадического кода

X=\sum_{i=1}^Nx_iM_{i-1}=x_1+m_1(x_2+m_2(\cdots+m_{N-1}x_{N})\cdots),

где x_k - цифры кода, числа M_k - основание смешанной системы счисления:

M_0=1,M_i=\prod_{j=1}^i m_j для i>0 и 0\leq x_i<m_i.

Полиадический код используется для:

  • Сравнения чисел
  • Перевода чисел из системы остаточных классов в обычную позиционную систему счисления

Обратное преобразование

Обратное преобразование на базе полиадического кода, базируется на идее, что любое число X может быть представлено в системе взаимно простых чисел p_1,\ldots, p_n, как [1]:

X = a_1 + a_2\cdot p_1 + a_3\cdot p_1\cdot p_2 + ... + a_{n-1}\cdot p_1\cdot p_2\cdot \ldots\cdot p_{n-2} + a_n\cdot p_1\cdot p_2\cdot \ldots\cdot p_{n-1}, где 0 < a_i < p_i
  • |X|_{p_1} = x_1 = a_1
  • |X - a_1|_{p_2} = |x_2 - a_1|_{p_2} = |a_2\cdot p_1|_{p_2} => a_2 = ||p_1^{-1}|_{p_2}\cdot (x_2 - a_1)|_{p_2}
  • |X - a_1 - a_2\cdot p_1|_{p_3} = |a_3\cdot p_1 \cdot p_2|_{p_3} => a_3 = ||p_2^{-1}|_{p_3} \cdot (|p_1^{-1}|_{p_3} \cdot (x_3 - a_1) - a_2)|_{p_3}
  • a_4 = ||p_3^{-1}|_{p_4} \cdot (|p_2^{-1}|_{p_4} \cdot (|p_1^{-1}|_{p_4} \cdot (x_3 - a_1) - a_2) - a_3)|_{p_4}
  • ...
  • a_n = ||p_{n-1}^{-1}|_{p_n} \cdot (|p_{n-2}^{-1}|_{p_n} \cdot ( ... |p_2^{-1}|_{p_n} \cdot (|p_1^{-1}|_{p_n} \cdot (x_n - a_1) - a_2) - ...) - a_{n-1}|_{p_n}


Для использования этого метода требуются константы вида |p_i^{-1}|_{p_k}. Можно также заметить, что начинать вычисление a_3 можно, как только появилось значение a_1. На основе этого метода можно строить конвейерные преобразователи.

Конвейерный преобразователь в полиадический код

Используя формулы выше можно нарисовать схему конвейерного преобразователя. В данном случае мы используем модулярный базис из 4 элементов:

Конвейерный преобразователь в полиадический код.png

  • ROMij - это таблица выполняющая следующее преобразование r = |(p - q) \cdot p_j^{-1}|_{p_i}. Для больших значений модулей таблица может быть заменена на последовательный набор арифметических операций (вычитание, умножение на константу и взятие модуля)
  • LATCH - элемент памяти сохраняющий значение до следующего такта
  • На преобразование модулярного представления в полиадический код требуется N-1 ступеней конвейера.

Обратный конвейерный преобразователь на базе полиадического кода

Этот преобразователь используется для восстановления числа X из модулярного кода, заданного набором остатков (x1, x2, x3, x4).

Обратный конвейерный преобразователь на базе полиадического кода.png

  • ROMij - это таблица выполняющая следующее преобразование r = |(p - q) \cdot p_j^{-1}|_{p_i} \cdot (p_1\cdot p_2 \cdot ... \cdot p_{i-1}). Для больших значений модулей таблица может быть заменена на последовательный набор арифметических операций (вычитание, умножение на константу и взятие модуля)
  • LATCH - элемент памяти сохраняющий значение до следующего такта
  • SUM - обычный сумматор
  • На преобразование модулярного представления в позиционный вид требуется N ступеней конвейера.
  • В отличие от преобразования в полиадический код, данный преобразователь получается более громоздким из-за более сложной структуры ROMij и наличия сумматоров, битовый размер которых растет в нижней части конвейера.

Коррекция ошибок на базе полиадического кода

Пусть задан набор модулей (p_1, p_2, p_3, p_4), где (p_1 < p_2 < p_3 < p_4). Из них первые два (p_1, p_2) являются информационными, а последние два (p_3, p_4) - проверочными. Данный набор позволяет корректировать одиночную ошибку в одном из модулярных каналов. Для коррекции можно использовать следующий наиболее простой подход на базе так называемой "репликации": из модулярного представления числа (x_1, x_2, x_3, x_4) последовательно исключается каждый канал, формируя "исключающие наборы":

  • P_1 = (x_2, x_3, x_4)
  • P_2 = (x_1, x_3, x_4)
  • P_3 = (x_1, x_2, x_4)
  • P_4 = (x_1, x_2, x_3)

Динамический диапазон каждой из троек превышает заданный (можно убедиться для каждой тройки: p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 > p_1 \cdot p_2). В случае если ошибок не было, то при обратном преобразовании в позиционное представление значения всех троек должны лежать в диапазоне: [0 <= X < p_1 \cdot p_2] и быть равными. В случае, если в одном из каналов произошла ошибка, то правильное значение даст только одна тройка, в которой исключено неверное значение, все остальные тройки будут лежать вне динамического диапазона (здесь нужна ссылка на пруФФФФФ или сам пруф).

В этом случае для восстановления числа требуется сделать 4 обратных преобразователя для каждой из троек. Сравнить полученные значения с p_1 \cdot p_2 и на основании сравнения выдать на выход правильное значение. Однако, как будет показано ниже, корректирующий преобразователь можно значительно сократить по площади, объединив одинаковые части в каждом из обратных преобразователей и рассчитывая финальное позиционное значение только один раз для тройки с правильным значением.

Запишем, полиадическую формулу для каждой из троек:

  • X_{P_1} = {a_1}_{P_1} + {a_2}_{P_1}\cdot p_2 + {a_3}_{P_1}\cdot p_2\cdot p_3
  • X_{P_2} = {a_1}_{P_2} + {a_2}_{P_2}\cdot p_1 + {a_3}_{P_2}\cdot p_1\cdot p_3
  • X_{P_3} = {a_1}_{P_3} + {a_2}_{P_3}\cdot p_1 + {a_3}_{P_3}\cdot p_1\cdot p_2
  • X_{P_4} = {a_1}_{P_4} + {a_2}_{P_4}\cdot p_1 + {a_3}_{P_4}\cdot p_1\cdot p_2

Если посмотреть на самую правое слагаемое каждого из выражений, можно заметить, что если любой из коэффициентов {a_3}_{P_1}, {a_3}_{P_2}, {a_3}_{P_3}, {a_3}_{P_4} отличается от нуля, то всё выражение получается больше, чем p_1 \cdot p_2. Из чего следует, что выражение ошибочно. Этот факт можно использовать для определения ошибки, не восстанавливая значение целиком (нужен пруф). Тем самым можно сократить площадь преобразователя.

Схема сокращенного преобразователя в полиадический код для коррекции одиночной ошибки

Использовать несколько параллельных преобразователей оказывается неэффективным. Как показано в [2], для этой цели можно использовать сокращенную форму (см. рисунок ниже).

Конвейерный преобразователь в полиадический код с коррекцией ошибок.png

В этом случае на выходных узлах можно получить полиадическое представление для каждого из исключающих наборов (P_1, P_2, P_3, P_4):

  • A_{P_1} = \{{a_1}_{P_1}, {a_2}_{P_1}, {a_3}_{P_1}\} = \{S_2(2), S_2(3), S_2(4)\}
  • A_{P_2} = \{{a_1}_{P_2}, {a_2}_{P_2}, {a_3}_{P_2}\} = \{S_1(1), S_3(3), S_3(4)\}
  • A_{P_3} = \{{a_1}_{P_3}, {a_2}_{P_3}, {a_3}_{P_3}\} = \{S_1(1), S_1(2), S_1(4)\}
  • A_{P_4} = \{{a_1}_{P_4}, {a_2}_{P_4}, {a_3}_{P_4}\} = \{S_1(1), S_1(2), S_1(3)\}

Для последующего восстановления исходного числа с коррекцией возможной ошибки можно воспользоваться следующим алгоритмом:

if ({a_3}_{P_1} == 0) \{

   X = {a_1}_{P_1} + {a_2}_{P_1}\cdot p_2

\} else if ({a_3}_{P_2} == 0) \{

   X = {a_1}_{P_2} + {a_2}_{P_2}\cdot p_1

\} else if ({a_3}_{P_3} == 0) \{

   X = {a_1}_{P_3} + {a_2}_{P_3}\cdot p_1

\} else if ({a_3}_{P_4} == 0) \{

   X = {a_1}_{P_4} + {a_2}_{P_4}\cdot p_1

\} else \{

   Ошибка более чем в 1 канале

\}


Для произвольного значения N схема сокращенного преобразователя в полиадический код строится следующим образом. Возьмем систему остатков для следующего набора N взаимно простых целых модулей: (p_1, p_2, p_3, ..., p_N), где (p_{i+1} < p_{i}).

Пусть X - целое число, такое, что

 X \leq \prod^{(N-2)}_{i=1} p_{i}

Представление числа X в модулярном виде N набором остатков таково: (x_1, x_2, x_3, ..., x_N), где x_i - значение остатка X (mod\  p_i). В этом случае 2 цифры остатков избыточны. Данный набор позволяет найти и исправить одиночную ошибку в одном из модулярных каналов.

Для поиска и коррекции ошибок используется преобразование модулярного представления числа в полиадический код.

По набору x_i создается полиадический код - набор a_i. Ошибочные каналы модулярного представления определяются следующим образом.

Во-первых, из N каналов модулярного представления числа X, создаем N наборов по N-1 каналов, причем последовательно исключается каждый канал, формируя так называемые проекции ("исключающие наборы"). Пусть P_i - проекция, полученная исключением канала x_i. Преобразуем в полиадический код каждую из проекций P_i. Если для всех проекций старшие разряды полученного полиадического кода равны нулю, ни в одном канале x_i ошибки нет. Если полученные старшие разряды ненулевые для всех проекций, кроме P_j, то в канале x_j присутствует ошибка, а P_j - правильное представление числа X.


Пусть ROMij - это любая схема или программа, получающая в момент времени 0 на вход целые p и q и в момент времени T выдающая на выход r, где r = |(p - q) \cdot p_j^{-1}|_{p_i}.

Пусть LATCH - это любая схема или программа, получающая в момент времени 0 на вход целое число и выдающая это число на выход в момент времени T.

Можно получить конвейерную схему, реализующую преобразование в полиадический код, разместив и соединив элементы ROMij и LATCH, определенные выше, как показано на следующем рисунке.

PoliadicCodeConvGeneralCase.PNG


Назовем эту схему схемой преобразователя в полиадический код размера D. На вход схемы поступают цифры остатков, обозначенные от I1 до ID, а выходами являются цифры полиадического кода, обозначенные от O1 до OD. Больший индекс соответствует старшему разряду. D столбцов рассматриваются от 1 до D, причем столбец 1 принимает младший вход. D-1 ступеней конвейера рассматриваются от 1 до D-1, причем входы схемы поступают на ступень 1. Каждая ступень конвейера срабатывает за время T. Каждая ступень конвейера состоит из некоторого числа элементов ROMij и LATCH, на входы которых поступают выходы предыдущей ступени, а выходы передаются на входы следующей ступени. Элемент с индексами i.j - это ROMij, если i>j, или LATCH, в противном случае. Левый вход элемента ROMij - p, правый - q.

Для произвольного значения N схема сокращенного преобразователя в полиадический код - это конвейерная схема из N-2 ступеней, содержащая (Y-1) элементов ROMij и (Y-N+1) элементов LATCH, где Y = (N \cdot (N-1) \cdot (N+1))/6. Входом схемы являются N цифр модулярного представления, выходом - (N+1) \cdot (N-1)/2 цифр полиадического кода. Данная реализация преобразователя заключает в себе N-1 подсхем преобразователя в полиадический код, от S_1 до S_{N-1}. Подсхема S_z содержит N-z+1 элементов. Элемент ROMij, находящийся в столбце u, ступени v подсхемы S_z определяется так:

  • i=u+z-1;\ j=v+z-1.

Входами подсхемы S_1 являются цифры от x_1 до x_N. Подсхема S_1 представляет собой особый случай, поскольку сокращена на одну ступень, ее выходы формируются после N-2 ступени: это цифры полиадического кода от S_{1}(1) до S_1(N).

Входами подсхемы S_i, i>1 являются N-i+1 p-входов i-1 ступени подсхемы S_1. Выходы подсхемы S_i, i>1: от S_{i}(i) до S_i(N).

Выходы рассмотренной схемы преобразователя необходимы и достаточны для того, чтобы получить полиадическое представление всех проекций. Цифры полиадического кода проекции P_{N} таковы: от S_{1}(1) до S_1(N-1). Цифры полиадического кода проекции P_{N-1} таковы: от S_{1}(1) до S_1(N-2), и S_1(N-1).

Цифры полиадического кода проекции P_{i}, i<N-1 таковы: от S_{1}(1) до S_1(i-1), если i>1, и от S_1(i+1) до S_1(N).

Данный преобразователь может быть реализован следующим образом:

Во-первых, при помощи преобразования в полиадический код определяются N-1 цифр полиадического кода, которые должны быть вычислены для каждой из N проекций. Затем каждая из цифр выражается через элементы, необходимые для ее вычисления.

Во-вторых, выявляются уникальные подформулы.

В-третьих, первая ступень преобразователя строится размещением и соединением элементов, соответствующих уникальным подформулам первого порядка (наибольшей вложенности).

В-четвертых, вторая ступень преобразователя строится размещением и соединением элементов, соответствующих уникальным подформулам второго порядка.

Процесс продолжается до тех пор, пока не будут построены все N-1 ступеней. Затем там, где необходимо, добавляются элементы LATCH, чтобы передать все цифры полиадического кода до конца конвейера.


Простой метод, основанный на репликации, требует X = (N \cdot (N-1) \cdot (N-2))/2 LUT и ROM. Сокращенный метод требует (Y-1) ROM и (Y-N+1) LUT, где Y = (N \cdot (N-1) \cdot (N+1))/6. Количество уровней обоих методов совпадает, и для реализации используются одинаковые элементы, поэтому тактовая частота работы после сокращения площади не изменится.

N 4 5 6 7 10
Репликация (кол-во ROM/LUT) 12 30 60 105 360
Метод сокращения (кол-во ROM) 9 19 34 55 164
Метод сокращения (кол-во LUT) 7 16 30 50 156

Ссылки


Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация