Описание КТО II

Материал из Модулярная арифметики
Версия от 03:00, 8 апреля 2013; DimaT (обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Китайская теорема об остатках "второй версии"

При детальном рассмотрении, то что в [1] называется CRT II, по сути является ни чем иным, как обратным преобразователем на основе преобразования в полиадический код, в несколько видоизмененном виде. За основу взята стратегия devide and conquer (такая же стратегия используется в БПФ). Базисом КТО II является формула восстановления числа по двум остаткам x_1, x_2, по основаниям p_1, p_2:

X=x_1+||x_2-x_1|_{p_2}\cdot|p_1^{-1}|_{p_2}|_{p_2} \cdot p_1

Как мы можем видеть, формула является переводом на базе перевода в полиадический код. Архитектура такого преобразователя можно изобразить следующим образом:

Crt2 1.JPG

Если мы рассмотрим модулярную систему с большим числом оснований, то принцип состоит в следующем:

  • Разбиваем имеющиеся вычеты по парам
  • По базовой формуле для всех пар находим X_1, X_2, .... Это будут вычеты по произведениям пар модулей
  • Возвращаемся на пункт 1 с новыми вычетами X_1, X_2, ... и новыми модулями P_k=p_{i} \cdot p_j


В качестве примера рассмотрим реализацию обратного преобразователя для четырех оснований p_1, p_2, p_3, p_4 и четырех остатков x_1, x_2, x_3, x_4:


  • 1 этап. Находим остаток X_1 числа X по модулю P_1=p_1*p_2

|X|_{p_1*p_2}=X_1=x_1+||x_2-x_1|_{p_2} \cdot |p_1^{-1}|_{p_2}|_{p_2} \cdot p_1


  • 2 этап. Находим остаток X_2 числа X по модулю P_2=p_3*p_4

|X|_{p_3*p_4}=X_2=x_3+||x_4-x_3|_{p_4} \cdot |p_3^{-1}|_{p_4}|_{p_4} \cdot p_3


  • 3 этап. Находим X по остаткам X_1 и X_2 и модулям P_1 и P_2

X=X_1+||X_2-X_1|_{P_2}\cdot|P_1^{-1}|_{P_2}|_{P_2} \cdot P_1

Crt2 2.JPG


Преимущества данной структуры над обычным преобразователем через смешанную систему оснований еще требует проверки.


[1]Yuke Wang, “Residue-to-Binary Converters Based On New Chinese Remainder Theorems,” IEEE Transactions on Circuits and Systems – II: Analog and Digital Signal Processing, vol. 47, No. 3, pp.197–205, March 2000.


Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация